El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en las magnitudes que les son propias.
Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación. Se necesita estudiar variaciones de la función en intervalos cada vez más pequeños para llegar a entender el concepto de variación instantánea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto.
Un hallazgo importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda.
La derivabilidad de una función en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) está asociado al de continuidad. Este aspecto también será tratado en esta unidad.
Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo benefício, mínima aceleración, mínima distancia, etc).
| DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (definición) |
Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,
La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera
y representa desde le punto de vista geométrico la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abcisa x=a
REGLAS DE DERIVACIÓN
El proceso descrito anteriormente es conocido como derivada por definición, podemos encontrar estos resultados empleando una síntesis de los resultados:
EJEMPLOS RESUELTOS
Derivada de una constante
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
|
Ejercicio nº 1) 
Sol: 
Ejercicio nº 2) 
Sol:
Ejercicio nº 3) 
Sol:
Ejercicio nº 4) 
Sol:
Ejercicio nº 5) 
Sol:
Ejercicio nº 6) 
Sol:
Ejercicio nº 7) 
Sol:
Ejercicio nº 
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Derivada de una función potencial: Forma simple
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
|
Ejercicio nº 10) 
Sol: 
Ejercicio nº 11) 
Sol: 
Ejercicio nº 12) 
Sol: 
Ejercicio nº 13) 
Sol: 
Ejercicio nº 14) 
Sol: 
Ejercicio nº 15) 
Sol: 
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones
|
Ejercicio nº 16) 
Solución: 
Ejercicio nº 17) 
Sol: 
Ejercicio nº 18) 
Sol: 
Ejercicio nº 19) 
Sol: 
Ejercicio nº 20) 
Sol:
Sol: 
Ejercicio nº 22) 
Sol: 
Ejercicio nº 23) 
Sol: 
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función
|
Ejercicio nº 24) 
Solución: 
Ejercicio nº 25) 
Solución: 
Ejercicio nº 26) 
Solución: 
Ejercicio nº 27) 
Solución: 
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado
|
Ejercicio nº 28) 
Solución: 
Ejercicio nº 29) 
Solución: 
Ejercicio nº 30) 
Solución: 
Ejercicio nº 31) 
Solución: 
Ejercicio nº 32) 
Solución:
